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Página 14: Propiedades del mínimo común múltiplo

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Propiedades del mínimo común múltiplo

Conocer las propiedades del mínimo común múltiplo te ayudará a comprender más profundamente este concepto.

Relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor

Ya has visto que los conceptos de múltiplo y divisor son análogos, gracias a ello existe una relación entre el m.c.d y el m.c.m.

Tomemos como ejemplo los números 4 y 6: m.c.d.(4,6)=2 y m.c.m.(4,6)=12.  Si multiplicamos el m.c.d. por el m.c.m., se obtiene como resultado precisamente el producto de los números en cuestión: 4xx6=24.  Observa:

Multiplicación del m.c.d. y el m.c.m. de 4 y 6.

Para generalizar esta propiedad se puede escribir: dados dos números  a y b:

La multiplicación del m.c.d. y el m.c.m. de dos números es igual al producto de los números.

Si dos números son primos relativos, entonces su m.c.m. es su producto

Recuerda que dos números son primos relativos si su m.c.d. es 1.  Por ejemplo, 12 y 25 son primos relativos porque m.c.d.(12,25)=1.  Si calculas su m.c.m. te darás cuenta que m.c.m.(12,25)=300, que es precisamente el producto de 12xx25.

Si un número es múltiplo de otro entonces es el m.c.m. de los dos

Veamos: 45 es múltiplo de 9.  Según esta propiedad, si calculamos el m.c.m. de 45 y 9 debemos encontrar que es 45.

Descomposiciones de 45 y 9.

Al realizar las descomposiciones de estos números se encuentra que m.c.m.(45,9)=3^2xx5=45.

Si se multiplican o dividen dos números, su m.c.m.  también

Mostremos esta propiedad con los números 6 y 10: el m.c.m.(6,10)=30.  Si multiplicamos estos dos números por ejemplo por 8, obtenemos 6xx8=48 y 10xx8=80. Observa que el m.c.m.(48,80) es 240, que es precisamente el resultado de multiplicar el m.c.m de 6 y 10 también por 8: 8xx30=240.

Lo mismo ocurre si en lugar de multiplicar se dividen por un mismo número, compruébalo tu mismo.

Todo múltiplo común de dos o más números es múltiplo de su m.c.m.

Utilicemos los números 5 y 7 para ejemplificar.  El m.c.m. de 5 y 7 es 35, si se calculan los múltiplos comunes de estos dos números, se obtendrán múltiplos de 35:

Los múltiplos comunes de dos números, son múltiplos de su m.c.m.

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