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Página 15: Problemas que se pueden resolver con múltiplos

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Problemas que se pueden resolver con múltiplos

Aquí encontrarás ejemplos resueltos y ejercicios para que pongas en practica los conceptos teóricos.

Observa el siguiente ejemplo: en una  estación de bus hay dos rutas, la ruta A pasa cada 30 minutos y la ruta B cada 50.  Si las rutas coinciden en un momento dado, ¿dentro de cuántos minutos se volverán a encontrar en la estación?

Las rutas A y B pasan cada 30 y 50 minutos respectivamente.

Primero analizaremos el problema para comprender por qué es adecuado el concepto de múltiplo para resolverlo.  Piensa en la ruta A, esta pasa cada 30 minutos.  Nota que a partir de un determinado momento, pasará a los 30, 60, 90 minutos, etc.  Es decir, pasa en los minutos que son múltiplos de 30.  Lo mismo ocurre con la ruta B,  que pasará en los minutos que sean múltiplos de 50.  Luego de comprender esto es fácil ver que las rutas coincidirán justamente en los minutos que sean múltiplos comunes de 30 y 50.

Para calcular el próximo encuentro de las rutas debemos encontrar el primer múltiplo común diferente de cero: el mínimo común múltiplo.  Se procede a descomponer 30 y 50 para calcularlo.

Descomposiciones de 30 y 50.

Multiplicando los todos factores primos con su máximo exponente se tiene que m.c.m.(30,50)=2xx3xx5^2=150.  Esto quiere decir que una vez se encuentren en la estación, se volverán a encontrar dentro de 150 minutos.

Otro ejemplo:

Dos atletas entrenan recorriendo una pista a la que rodean en 14 y 18 minutos respectivamente.  ¿Si parten al mismo tiempo de la línea de salida, cada cuanto tiempo pasan juntos por ese mismo punto?

Nuevamente nos enfrentamos a un problema que se puede resolver a través del mínimo común múltiplo: observa que el tiempo que tardan en dar varias vueltas debe ser múltiplo del tiempo que tardan en dar una sola, así que coincidirán en los múltiplos comunes.

Realizando el proceso de descomposición se tiene que el m.c.m. de 14 y 18 es el producto 2xx3^2xx7.  Se puede asegurar que los corredores se encontrarán cada 126 minutos.

Descomposiciones de 14 y 18.