Os números decimais
Converter dízimas periódicas simples em fração

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Converter dízimas periódicas simples em fração

As dízimas periódicas também podem ser representadas por frações. Aprenda como fazer isso aqui.

Agora veremos como encontrar frações que representam o mesmo que números como 0,111111...  ou 4,bar67, onde as partes decimais não terminam, mas são repetidas periodicamente.  

Para isso temos um método simples que você deve seguir passo a passo. Usaremos o exemplo 12,45454545...

Passo 1: Reescrever o número

Escrevemos o número com a notação resumida com a traço na parte decimal. Neste caso, em vez de escrever  12,454545... escrevemos: 12,bar45.  

Passo 2: O numerador

O numerador da fração será o número decimal escrito sem a vírgula e sem a barra, menos sua parte inteira.

O número decimal escrito sem virgula e sem barra.

Passo 3: O denominador

O denominador será um número com a mesma quantidade de noves que tem os decimais do número original.

Como 12,bar45 tem dois dígitos periódicos na sua parte decimal, o 4 e o 5, devem ser colocados dois noves como denominador. Lembre-se que o número 9 é sempre usado nesta etapa.

Colocamos o denominador.

Passo 4: Realizar as operações

Agora é subtraído e simplificado: nesta ocasião deve ser feita a subtração: 1245-12 = 1233, obtendo a fração 1233/99. Ao simplificar isso, chegamos ao resultado 137/11.  

Subtraímos e simplificamos.

Se você fizer a divisão  137div11, encontrará que seu resultado é 12,454545... Isso significa que 12,45454545...=137/11.

Outro exemplo  

Veja outro exemplo interessante: vamos encontrar uma fração que represente o decimal 0,9999 ...

Passo 1:

O número é escrito com a notação de barra: 0,9999...=0,bar9

Passo 2:

O numerador será o número escrito sem vírgula e sem barra, menos a parte inteira do mesmo número. Lembre-se que 09=9.  

Passo 3:  

O denominador terá a mesma quantidade de noves que as dízimas periódicas que tem o número original. Nesse caso, há apenas uma dízima periódica, portanto, o denominador terá apenas um nove.

Passo 4:

Para terminar fazemos a subtração e a simplificação. Ao simplificar a fração 9/9, obtemos o resultado 1.  

Observe o procedimento completo na imagem abaixo:

Procedimento completo.

Isso significa que  0,9999...=1. Não lhe parece surpreendente que um zero seguido por infinitos noves seja o mesmo que  1 ?  

Pense da seguinte forma: se dois números são diferentes, é possível colocar outros números entre eles. Por exemplo, entre 0,99 e 1, é possível localizar o 0,995 e muitos outros, mas quais números podem estar entre 0,99999... e 1 ?

Cada nove na parte decimal nos aproxima mais à posição do um.

Para localizar o 0,9999 .... temos que considerar nove décimos, nove centésimos, nove milésimos, nove dez milésimos, etc., etc., etc. E cada vez estaremos mais perto da posição ocupada pelo um. Isto significa que pode ser qualquer número entre 0,bar9 e 1. Assim: 0,bar9=1.

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