Múltiplos e divisores: Problemas que podemos resolver com múltiplos

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Problemas que podemos resolver com múltiplos

Nesta página veremos exemplos de exercícios resolvidos para praticar os conceitos teóricos que vimos até agora.

Veja o seguinte exemplo: numa estação de ónibus há dois trajetos, o ônibus que faz trajeto A passa a cada 30 minutos e o do trajeto B a cada 50 . Considerando que os trajetos coincidam em determinado momento, em quantos minutos voltarão a se encontrar na estação?

As rotas A e B passam a cada 30 e 50 minutos, respectivamente.

Primeiro analisamos o problema para compreender porque o conceito de múltiplo é adequado para resolvê-lo. Pensemos no ônibus que tem o trajeto A, e que passa a cada 30 minutos. Observe que a partir de um determinado momento, ele passará aos 30, 60, 90 minutos etc, ou seja, passa nos minutos que são múltiplos de 30 . O mesmo acontece com o que tem o trajeto B , que passará nos minutos múltiplos de 50 . Com isso claro, é mais fácil ver que estes trajetos devem se coincidir justamente nos minutos que sejam múltiplos comuns de 30 e 50 .

Para calcular o próximo encontro dos ônibus devemos encontrar o primeiro múltiplo comum diferente de zero, ou seja o mínimo múltiplo comum. Vamos decompor  30 e 50 para poder calcular.

Decomposições de 30 e 50.
Multiplicando todos os fatores primos com seu expoente máximo, obtemos o m.m.c.(30,50)=2xx3xx5^2=150 . Isto quer dizer que depois de sairem da estação, voltarão a se encontrar dentro de 150 minutos.

Outro exemplo:

Dois atletas treinam correndo numa pista em 14 e 18 minutos respectivamente. Se eles partem ao mesmo tempo da linha de saída, a cada quanto tempo passam juntos num mesmo ponto?

Mais uma vez vemos um problema que pode ser resolvido usando o mínimo múltiplo comum: observe que o tempo que demoram para dar várias voltas deve ser múltiplo do tempo que demoram em dar uma volta.

Fazendo o processo de decomposição percebemos que o m.m.c. de 14 e 18 é o produto 2xx3^2xx7 . Agora temos certeza que os atletas se encontrarão a cada 126 minutos.

Decomposição de 14 e 18.