Múltiplos e divisores: Problemas que podem ser resolvidos com divisores

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Problemas que podem ser resolvidos com divisores

Aprenda a usar o conceito de máximo divisor comum para solucionar problemas. Veja como fazer e depois coloque em prática!

Observe a seguinte situação: um carpinteiro tem dois pedaços de madeira de 90 e 120 centímetros cada um. Ele quer dividi-los em partes iguais com o maior tamanho possível sem que sobre nada. De quantos centímetros deve ser cada uma das partes?

Dois pedaços de madeira de 90 e 120 centímetros.

Antes de tentar resolver o problema, vamos analisá-lo um pouco. Suponhamos por exemplo, que ele decide fazer pedaços de 60 centímetros. Quando dividir o pedaço de 120 obterá dois, mas ao dividir o de 90 teria uma parte de 60 centímetros e outra de 30 , que  seria desperdiçada porque ele quer que todas as partes sejam iguais.

Para que ele não desperdice nada, a medida das divisões deve ser o divisor comum de 90 e 120 .  Além disso, as partes devem ser o maior possível, assim, o divisor que buscamos é o maior; ou seja, o máximo divisor comum. Decompomos os números 90 e 120 para calcular seu m.d.c.

Decomposições de 90 e 120.

A partir das decomposições 90=2xx3^2xx5 e 120=2^3xx3xx5 , observamos que os fatores primos comuns (com o menor expoente) são 2, 3 e 5 então o m.d.c.(90,120)=2xx3xx5=30 . Concluímos que o carpinteiro deve fazer partes de 30 centímetros.

Outro exemplos:

Numa fábrica são produzidos bolas vermelhas e verdes. Para distribuí-las são empacotadas em caixas de tal forma que todas tenham o mesmo número de bolas. Além disso, deve ter em cada caixa o maior número de bolas possíveis. Se temos 1960 bolas vermelhas e 4500 verdes como devem ser empacotadas?

Observe que o número de bolas em cada caixa deve ser um divisor comum, por exemplo: se empacotamos sete bolas em cada caixa teríamos que usar 1960 div 7=280 caixas para as bolas vermelhas e não sobraria nenhuma. Mas para as verdes necessitamos: 4500 div 7=642 e sobram 6 , isto quer dizer que ficaria uma caixa com seis bolas verdes. Em contrapartida, se o número de bolas em cada caixa é um divisor comum de 1960 e 4500 , empacotamos as bolas e não vai sobrar  nenhuma.

Sabemos que o número de bolas em cada caixa deve ser o divisor de 1960 e de 4500 , mas também deve ser o maior possível. Isto é, estamos buscando seu m.d.c.

Como podemos ver na imagem abaixo as decomposições primas são 1960=2^3xx5xx7^2 4500=2^2xx3^2xx5^3 .

Divisores de 1960 e 4500.

Os fatores primos comuns com menor expoente são 2^2 e 5 , então m.d.c.(1960,4500)=2^2xx5=20 .  Isto quer dizer que devemos empacotar 20 bolas em cada caixa. Dessa forma asseguramos que haverá o mesmo número em cada uma e também não haverá um número maior que permita uma distribuição sem que sobrem bolas de nenhuma cor.

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