Múltiplos e divisores: O máximo divisor comum

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O máximo divisor comum

O máximo divisor comum é uma das ferramentas mais importantes da aritmética, aprende aqui a calculá-lo.

Como já tínhamos visto, os números podem compartilhar vários dos seus divisores. Por exemplo, calculamos os divisores de 45 e 60 :

Divisores de 45 e 60.

Observe que os números 1, 3, 5 e 15 são os divisores comuns de  45 e 60 . Como veremos mais adiante, o maior destes números, o máximo divisor comum, será muito útil na realização de operações e em suas simplificação, por isso é necessário  aprender a calculá-lo.

Uma forma óbvia de calcular o máximo divisor comum de vários números é mostrando todos os divisores dos números em questão, escolher um a um os comuns e depois estabelecer qual é o maior deles. Para o caso de 45 e 60 , percebemos que o máximo divisor comum é  15 .

Este método nem sempre é o mais prático. Você já imaginou calcular o máximo divisor comum de números grandes como 17280 e 64800 ?  Para fazer isso teríamos que encontrar cada um de seus divisores e em seguida observar qual é o maior deles! Este procedimento não é o único, lhe explicaremos um mais simples e rápido. Vejamos como calcular o máximo divisor comum de 300 e 198 :

Passo 1:

Primeiro devemos realizar a decomposição prima de cada um dos números:

Descompomos os dois números em fatores primos.

Percebemos assim que 300=2^2xx3xx5^2 e 198=2xx3^2xx11 .

Passo 2:

Para calcular o máximo divisor comum multiplicamos os fatores primos que sejam comuns aos números, mas com o menor expoente com que se encontrem.

Neste caso, os fatores primos comuns são 2 e 3 e o menor expoente onde aparecem estes fatores é o um.

Devemos considerar que quando um número aparece sem expoente consideramos que é um. Por exemplo, 5=5^1 .

Multiplicamos então 2xx3 , obtendo que o máximo divisor comum de 300 e 198 que é 6 .

Escrevemos o máximo divisor comum dos números  a e b  assim m.d.c.(a,b) .  Podemos escrever então m.d.c.(300,198)=6 .  Vejamos outro exemplo, calculemos o m.d.c. de 5880 , 5292 e 2205 .

Passo 1:

Decompomos os números em fatores primos:

Procedimento de decomposição.

Podemos afirmar que 5880=2^3xx3xx5xx7^2 , 5292=2^2xx3^3xx7^2 e 2205=3^2xx5xx7^2 . Observe que 3 e 7 são os únicos fatores primos comuns a estes três números.

Passo 2:

Agora multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente que aparece. O menor expoente que aparece com o 3 é um, enquanto que o menor expoente que parece com o 7 é dois, multiplicamos então 3xx7^2 .

Desta forma percebemos que o máximo divisor comum de 5880 , 5292 e 2205 é 147 , ou seja: m.d.c.(5880,5292,2205)=147 .

Primos relativos, coprimos ou primos entre si

Quando o m.d.c. de dois números é um, dizemos que são primos relativos, coprimos ou primos entre si. Por exemplo, decompomos os números 182 e 165 :

Decomposições de 182 e 165.

182=2xx7xx13 e 165=3xx5xx11 . Quando não tem fatores primos em comum, quer dizer que não tem divisores comuns mais que 1 , portanto: m.d.c.(182,165)=1

Assim 182 e 165 são primos relativos, coprimos ou primos entre si.

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