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La descomposición prima y los divisores

La descomposición prima de un número tiene información sobre sus divisores.  Aprende como interpretarla.

Una de las ventajas de encontrar la descomposición prima de un número es que nos permite saber cuántos divisores tiene y calcularlos fácilmente.

Observa: la descomposición prima de 360 es 2xx2xx2xx3xx3xx5.  Si se usan las propiedades asociativa y conmutativa, se pueden encontrar descomposiciones no primas del número.

Por ejemplo, si se asocian los tres primeros factores y los tres últimos, se obtiene que 360=8xx45.  Esto permite concluir que 8 y 45 son divisores de 360:

8 y 45 son divisores de 360.

Si se conmuta y asocia de otra forma, se encuentran otros divisores: 360=(2xx2xx3)xx(2xx3xx5)=12xx30.  De donde se tiene que 12 y 30 también son divisores de 360.

Todos los divisores de un número se producen al multiplicar las diferentes combinaciones de factores de su descomposición prima.

¿Cuántos divisores tiene un número?

Al escribir la descomposición prima en forma de potencias es fácil determinar cuántos divisores tiene un número.  Lo único que debes hacer es sumarle una unidad a cada exponente y multiplicar los resultados.

Siguiendo con el ejemplo de 360, si escribimos su descomposición en forma de potencias se tiene:

Descomposición de 360 en potencias.

Los exponentes en esta descomposición son 3, 2 y 1.  Al sumarle una unidad a cada uno y multiplicar los resultados se obtiene:

Se suma una unidad a cada exponente, y luego se multiplican los resultados.

Esto quiere decir que 360 tiene 24 divisores.

¿Cómo encontrar todos los divisores?

Ya sabes que para obtener los divisores de un número se multiplican diferentes combinaciones de sus factores primos.  Sin embargo, este proceso puede ser confuso, pues en algunas ocasiones es fácil olvidar algunas de estas combinaciones.  Te brindamos un método para que los encuentres todos sin problemas.  Sigamos con el número 360 como ejemplo:

Paso 1: se escribe una fila con todas las potencias del primer factor primo

En este caso el primer factor primo es 2.  Observa que su exponente es 3, entonces las distintas potencias son: 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4 y 2^3=8.

Se hace una fila con todos los resultados de esas potencias:

Se escribe una fila con las potencias del primer factor primo.

Paso 2: multiplica cada potencia del segundo factor por la fila anterior

El segundo factor es 3.  Este tiene exponente 2, así que debemos tener en cuenta los factores 3^1=3, y 3^2=9.

Se multiplica la fila del paso 1 por cada uno de estos números.

Como resultado obtenemos otras dos filas, para un total de tres.

Multiplica la fila por cada potencia del segundo factor.

No es necesario tener en cuenta el factor 3^0=1, pues al multiplicar la primera fila por 1, se obtendría la misma fila sin alteraciones.

Paso 3: multiplica cada potencia del tercer factor por todas las filas anteriores

Ahora se debe repetir el paso anterior con todas las potencias del tercer factor.  En este caso el tercer factor es 5, y como tiene exponente 1, solo multiplicamos las filas anteriores por 5^1=5.

Multiplica todas las potencias del tercer factor por todas las filas anteriores.

Si el exponente del 5 hubiera sido por ejemplo 2, se tendría que multiplicar cada fila también por 25, lo que produciría tres filas adicionales.

Como no hay más factores en la descomposición de 360 se ha terminado el proceso.  Observa que en la tabla hay exactamente 24 números, estos son todos los divisores del 360.  

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