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Propiedades del máximo común divisor

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Propiedades del máximo común divisor

El máximo común divisor, o m.c.d., también goza de propiedades útiles.  Conócelas aquí:

Si se multiplican o dividen dos números por un tercero, su m.c.d. también

Para comprender  esta afirmación tomemos como ejemplo los números 15 y 20.  El máximo común divisor de 15 y 20 es 5: m.c.d.(15,20)=5.

Si se multiplican estos dos números por tres: 3xx15 y 3xx20, también su m.c.d. se multiplica por tres.  Así, m.c.d.(45,60)=3xx5=15.

Para comprobarlo hacemos las descomposiciones primas de 45 y 60.

Los factores comunes son 3 y 5, así que m.c.d.(45,60)=15, como lo asegura esta propiedad.

Descomposiciones primas de 45 y 60.

Lo mismo sucede si se dividen los números.  Por ejemplo, 80 y 130: m.c.d.(80,130)=10.  Si se dividen los números, por ejemplo en 2, su m.c.d. también se divide en 2: m.c.d.(40,65)=5.

Si dividimos dos números en su m.c.d.,  los resultados serán primos relativos

Observa: m.c.d.(550,735)=5.  Así, si se dividen 550 y 735 en 5, los resultados deben ser coprimos.

550div5=110 y 735div5=147.  En la siguiente imagen puedes observar las descomposiciones primas de estos dos números.  Recuerda que si no hay factores primos comunes el m.c.d. es igual a 1.

Divisores de 110 y 147.

Como m.c.d.(110,147)=1, se puede concluir que son primos relativos, tal y como lo dice esta propiedad.

Si un número es divisor de otro, entonces es el m.c.d. de los dos

Usemos los números 24 y 4 como ejemplo.  4 es divisor de 24 , esta propiedad dice que si calculamos su m.c.d. deberá ser 4 , veamos:

Al realizar las descomposiciones primas de los números, obtenemos el resultado mostrado en la siguiente imagen.

El m.c.d. será la multiplicación de los factores primos comunes, en este caso 2xx2=4.

Descomposiciones de 24 y 4.

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