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Página 8: Propiedades del máximo común divisor

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Propiedades del máximo común divisor

El máximo común divisor, o m.c.d. , también goza de propiedades útiles.  Conócelas aquí:

Si se multiplican o dividen dos números por un tercero, su m.c.d. también.

Para comprender  esta afirmación tomemos como ejemplo los números 15 y 20 .  El máximo común divisor de 15 y 20 es 5: m.c.d.(15,20)=5 .

Si se multiplican estos dos números por tres: 3xx15 y 3xx20 también su m.c.d. se multiplica por tres.  Así, m.c.d.(45,60)=3xx5=15 .

Para comprobarlo hacemos las descomposiciones primas de 45 y 60 .

Los factores comunes son 3 y 5 , así que m.c.d.(45,60)=15 como lo asegura esta propiedad.

Descomposiciones primas de 45 y 60.

Lo mismo sucede si se dividen los números.  Por ejemplo, 80 y 130 : m.c.d.(80,130)=10 ,  Si se dividen los números, por ejemplo en 2 su m.c.d. también se divide en 2 : m.c.d.(40,65)=5 .

Si dividimos dos números en su m.c.d.  los resultados serán primos relativos.

Observa: m.c.d.(550,735)=5 .  Así, si se dividen 550 y 735 en 5 , los resultados deben ser coprimos.

550div5=110 y 735div5=147 .  En la siguiente imagen puedes observar las descomposiciones primas de estos dos números.  Recuerda que si no hay factores primos comunes el m.c.d. es igual a 1 .

Divisores de 110 y 147.

Como m.c.d.(110,147)=1 se puede concluir que son primos relativos, tal y como lo dice esta propiedad.

Si un número es divisor de otro, entonces es el m.c.d. de los dos

Usemos los números 24 y 4 como ejemplo.  4 es divisor de 24 , esta propiedad dice que si calculamos su m.c.d. deberá ser 4 , veamos:

Al realizar las descomposiciones primas de los números, obtenemos el resultado mostrado en la siguiente imagen.

El m.c.d. será la multiplicación de los factores primos comunes, en este caso 2xx2=4 .

Descomposiciones de 24 y 4.

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