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Descomposición en factores primos

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Descomposición en factores primos

Hay quienes dicen que los números primos son los ladrillos de la matemática.  Aprende el porqué.

Para que comprendas que significa descomponer un número en factores primos debes recordar el significado de la palabra factor: un término que está multiplicando.  Por ejemplo, en la expresión 4xx5, cuatro es factor de cinco, y cinco es factor de cuatro, ya que cada uno está multiplicando al otro.  ¿Nada más sencillo verdad?  Ahora podrás comprender más profundamente que significa factorizar un número.

Es posible representar veinte unidades, por ejemplo, de varias formas: 20, 10+10 ó 25-5 son algunas de ellas.  Pero ¿se puede escribir en factores?  Es decir, ¿se puede escribir veinte representado como una multiplicación de números enteros?  Claro: 20=4xx5, por lo tanto se  dice que 4xx5 es una factorización de 20 .  Factorizar un número es encontrar una forma de escribirlo como multiplicación.  Observa que los factores son precisamente divisores del número.

Esto tiene sentido solo para números compuestos, pues para los números primos la descomposición es trivial.  Por ejemplo, las únicas factorizaciones posibles de 7 son: 1xx7 y 7xx1.

Como te podrás imaginar, se puede factorizar (o descomponer) un número de muchas formas distintas.

Tomemos como ejemplo el número 60.  En  la  siguiente imagen puedes observar algunas de las formas en las que es posible descomponerlo.

Posibles factorizaciones del 60.

Una forma única gracias a los primos

Recuerda que los números primos son aquellos mayores que uno, que tienen solo dos divisores: uno y ellos mismos.   Los demás números, los compuestos,  tienen varios divisores.  Por esta razón siempre podremos descomponer los números hasta que cada uno de sus factores sea primo.  Observa:

Tomemos una de las factorizaciones del número 60, por ejemplo 6xx10 .  Observa que seis y diez son números compuestos, pues Div(6)={1, 2, 3, 6} y Div(10)={1, 2, 5, 10}.

Lo anterior quiere decir que se pueden descomponer seis y diez en más factores, por ejemplo: 6=2xx3 y 10=2xx5.  Por lo tanto la descomposición de 60 se transforma así:

  Todos los factores compuestos pueden descomponerse en números menores.

Usando las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos escribir la descomposición de menor a mayor y sin paréntesis, como lo indica la última igualdad de la imagen anterior.

Ahora cada uno de los factores en la descomposición de 60 es un número primo, y como estos no tienen más divisores que uno y ellos mismos, no es posible seguir transformándola, salvo por el orden.

Fíjate en que si se hubiera comenzado por otra descomposición de 60, se llegaría al mismo resultado.

Observa que la única diferencia entre esta descomposición y la obtenida anteriormente, es el orden de los factores primos.

Los resultados de las descomposiciones son iguales.

Lo anterior vale para todos los números, y significa que todo número natural mayor que uno, o es primo, o se puede escribir como producto de primos.  Esta afirmación es una de las más importantes de la matemática, y como tal recibe un nombre especial: teorema fundamental de la aritmética.

Simplificando la notación

A la hora de descomponer números en factores primos se pueden encontrar algunos con una gran cantidad de factores.  Un ejemplo de ello es 432:

Descomposición prima de 432.

Para simplificar la escritura de estas descomposiciones se hace lo siguiente: solo anotamos una vez cada factor primo, pero escribimos las veces que se repite con un pequeño número arriba al lado derecho.

Así, la descomposición de 432 se expresa: 432=2^4xx3^3 , ya que el factor dos aparece cuatro veces y el factor tres aparece tres.  Leemos este tipo de expresiones así: “dos a la cuatro, por tres a la tres”.

En la expresión a^b se conoce a b como exponente, mientras que a es llamado base.  En la expresión 2^4, 4 es el exponente y 2 es la base.  A esta forma de escribir los productos se le conoce como potenciación.

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