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Propriedades do máximo divisor comum

O máximo divisor comum ou , também possui propriedades úteis, veja:

Se dois números é multiplicado ou dividido por um terceiro, seu também

Para entender esta afirmação vejamos como exemplo os números e . O máximo divisor comum de e é . Se multiplicamos estes dois números por três: e , o seu também é multiplicado por três. Assim o .

Para comprovar fazemos as decomposições primas de e . Os fatores comuns são e , assim que , como assegura esta propriedade.

O mesmo acontece se dividimos os números, por exemplo, e : . Se dividimos os números em , seu também é dividido em  : .

Se dividimos dois números pelo seu os resultados serão primos relativos

Observe: .  Assim se dividimos e em , os resultados devem ser coprimos.  e . Na imagem abaixo podemos observar as decomposições primas destes dois números. Lembre que não há fatores primos comuns, o é igual a .

Como , podemos concluir que são primos relativos, assim como diz esta propriedade.

Se um número é divisor de outro, também o dos dois

Usamos os números e como exemplo.  é divisor de , esta propriedade diz que se calculamos seu   ele deverá ser , vejamos: Quando realizamos as decomposições primas dos números, obtemos o resultado mostrado na imagem abaixo. 

O será a multiplicação dos fatores primos comuns, neste caso .

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