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Página 6: Propiedades del conjunto de los números enteros

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Propiedades del conjunto de los números enteros

Los números enteros conservan algunas de las propiedades de los números naturales, también cuentan con unas nuevas y carecen de otras.  Veamos:

Relación entre los números enteros y los números naturales

Según como hemos definido las cosas, cada elemento de los números naturales hace parte también del conjunto de los números enteros

Recuerda que cuando esto ocurre entre dos conjuntos decimos que uno está contenido en el otro.

En este caso podemos escribir NN sube ZZ (los naturales están contenidos en los enteros), es decir, NN es un subconjunto de ZZ.

Operaciones en el conjunto de los números enteros

Además de poder representar cantidades enteras positivas, los números enteros nos permiten representar cantidades enteras negativas.  Por esta razón cuando sumamos o restamos números enteros el resultado seguirá siendo un número entero.

Piensa qué pasa si sumas dos o más deudas: supongamos que le debes tres dulces a tu amigo Carlos y uno a tu amiga Ana.  Para saber cuántos dulces debes en total hay que sumar las deudas, es decir, sumar números enteros, obteniendo como resultado la deuda total, o sea otro número entero.

Operaciones en el conjunto de los números enteros.

Si representamos numéricamente esta situación tendremos que con respecto a Carlos tienes -3 dulces, y con respecto a Ana tienes -1 dulce, por lo tanto en total debes 4 dulces.  Esto quiere decir que -3 más -1 es -4 : (-3)+(-1)=-4.

Hay tres operaciones entre números enteros que tienen como resultado números enteros: la suma, la resta y la multiplicación.  Como te puedes dar cuenta esta es una ventaja de los enteros sobre los naturales, en ellos está permitida una operación más, la resta.

¿El primer entero?

Una de las propiedades de NN (los naturales), es que existe un primer elemento del conjunto.  ¿Crees que pasa lo mismo en el conjunto ZZ (los números enteros)?  Como ZZ contiene cada elemento de los números naturales y sus negativos, se extiende indefinidamente tanto positiva, como negativamente.  Es decir, ZZ no puede tener un primer elemento.  Los puntos suspensivos en la expresión: ZZ={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} indican que las partes positiva y negativa son infinitas.

El sucesor de un número entero

Como en el caso de los números naturales, cada vez que fijemos un número entero podremos determinar su sucesor, es decir, el número entero siguiente.  Para la parte positiva, los naturales, el sucesor sigue siendo el mismo, el número que representa una unidad más.  Debe pasar lo mismo entonces para la parte negativa.

¿Cuál es el sucesor de -4?

¿Cuál será el sucesor de -4 ?  Supón que tienes -4 naranjas, o sea, debes 4 naranjas.  Si consigues pagar una (sumas una) ¿cuántas deberías ahora?  La respuesta es que ahora deberías solamente 3 naranjas.  Es decir, hemos encontrado que el sucesor de -4 es -3.   Lo mismo pasa con el resto de los números negativos.

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