Divisores y múltiplos
Problemas que se pueden resolver con divisores

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Problemas que se pueden resolver con divisores

Aprende a usar el concepto de máximo común divisor para solucionar problemas.  !Entiende como se hace y luego practica mucho!

Observa la siguiente situación: un carpintero tiene dos trozos de madera de 90 y 120 centímetros cada uno.  Desea dividirlos en partes iguales de la mayor longitud posible sin que le sobre nada, ¿de cuántos centímetros debe ser cada una de las partes?

Dos trozos de madera de 90 y 120 centímetros.

Antes de tratar de resolver el problema, analicémoslo un poco.  Supongamos por ejemplo que decide hacer trozos de 60 centímetros.   Al dividir el trozo de 120 obtendría dos, pero al dividir el de 90 tendría una parte de 60 centímetros y otra de 30, que desperdiciaría puesto que quiere que todas las partes sean iguales.

Para que no se desperdicie nada, la medida de las divisiones debe ser divisor común de 90 y 120.   Además, las partes deben ser lo más grandes posible, así, el divisor que buscamos es el mayor; es decir, el máximo común divisor.  Descomponemos los números 90 y 120 para calcular su m.c.d.

Descomposiciones de 90 y 120.

De las descomposiciones 90=2xx3^2xx5 y 120=2^3xx3xx5 , se observa que los factores primos comunes (con el menor exponente) son 2, 3 y 5.  Luego, m.c.d.(90,120)=2xx3xx5=30.   Se deduce entonces que el carpintero debe hacer partes de 30 centímetros cada una.

Otro ejemplo:

En una fabrica se elaboran balones rojos y verdes.  Para distribuirlos se empacan por aparte en cajas de tal forma que todas las cajas tengan el mismo número de balones.  Además debe haber el mayor número posible de balones en cada caja.  Si se dispone de 1960 balones rojos y 4500 verdes ¿Cómo deben ser empacados?

Observa que el número de balones en cada caja debe ser un divisor común, por ejemplo: si se empacan siete balones en cada caja se tendrían que usar 1960div7=280 cajas para los balones rojos y no sobra ninguno.  Sin embargo para los verdes se necesitan: 4500div7=642 y sobran 6 , esto quiere decir que quedaría una caja con seis balones verdes.  En cambio, si el número de balones en cada caja es un divisor común de 1960 y 4500, se empacarán los balones y no sobrarán de ningún color.

Ahora bien, sabemos que el número de balones en cada caja debe ser divisor de 1960 y de 4500, pero también debe ser el mayor posible.  Esto es, estamos buscando su m.c.d.

Como puedes ver en la imagen de la derecha las descomposiciones primas son 1960=2^3xx5xx7^2 y 4500=2^2xx3^2xx5^3.

Divisores de 1960 y 4500.

Los factores primos comunes con menor exponente son 2^2 y 5, entonces m.c.d.(1960,4500)=2^2xx5=20.   Esto quiere decir que se deben empacar 20 balones en cada caja.  De esa forma se asegura que habrá el mismo número en cada una y, además, no habrá un número más grande que permita una distribución sin que sobren balones de algún color.

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