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Página 6: El máximo común divisor

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El máximo común divisor

El máximo común divisor es una de las herramientas más importantes en la aritmética, aprende a calcularlo.

Como has visto, los números pueden compartir varios de sus divisores.  Por ejemplo, calculemos los divisores de 45 60 :

Divisores de 45 y 60.

Observa que los números 1, 3, 5 y 15 son divisores comunes de 45 y 60 .  Como verás más adelante, el mayor de estos números, el máximo común divisor, será muy útil en la realización de operaciones y en la simplificación de las mismas, es necesario entonces que lo aprendas a calcular.

Una forma obvia de calcular el máximo común divisor de varios números es exhibir todos los divisores de los números en cuestión, escoger uno a uno los comunes, y luego establecer cuál es el mayor de ellos.  Para el caso de 45 y 60, se tiene que el máximo común divisor es 15.

Sin embargo, este método no es lo más práctico siempre, ¿te imaginas calcular el máximo común divisor de números grandes como 17280 y 64800 ?  ¡Para hacerlo tendríamos que encontrar cada uno de sus divisores y luego observar cuál es el mayor de ellos!  Tal procedimiento no es el único, te explicaremos uno más sencillo y corto. veamos cómo calcular el máximo común divisor de 300 y 198:

Paso 1:

Primero se debe realizar la descomposición prima de cada uno de los números:

Se descomponen los dos números en factores primos.

Se obtiene así que 300=2^2xx3xx5^2 y 198=2xx3^2xx11.

Paso 2:

Para calcular el máximo común divisor se multiplican los factores primos que sean comunes a los números, pero con el menor exponente con el que se encuentren.

En este caso los factores primos comunes son 2 y 3.  El menor exponente con el que aparecen estos factores es uno.

Debes tener en cuenta que cuando un número aparece sin exponente se considera que es uno.  Por ejemplo, 5=5^1.

Se debe multiplicar entonces 2xx3, obteniendo que el máximo común divisor de 300 y 198 es 6.

Notamos el máximo común divisor de los números  a  y  b  así m.c.d.(a,b).  Podemos escribir entonces m.c.d.(300,198)=6 .  Veamos otro ejemplo, calculemos el m.c.d. de 5880 , 5292 y 2205.

Paso 1:

Se descomponen los números en factores primos:
Se descomponen los números en factores primos.

Se puede afirmar que 5880=2^3xx3xx5xx7^2, 5292=2^2xx3^3xx7^2 y 2205=3^2xx5xx7^2.  Observa que 3 y 7 son los únicos factores primos comunes a estos tres números.

Paso 2:

Ahora se multiplican los factores comunes con el menor exponente que aparezcan.  El menor exponente con el que aparece el 3 es uno, mientras que el menor exponente con el que parece el 7 es dos, multiplicamos entonces 3xx7^2 .

De esta manera se encuentra que el máximo común divisor de 5880, 5292 y 2205 es 147, es decir: m.c.d.(5880,5292,2205)=147.

Primos relativos, coprimos o primos entre sí

Cuando el m.c.d. de dos números es uno, se dice que son primos relativos, coprimos o primos entre sí.  Por ejemplo, si se descomponen los números 182 y 165:

Descomposiciones de 182 y 165.

182=2xx7xx13 y 165=3xx5xx11.  Que no haya factores primos en común, quiere decir que no tienen divisores comunes más que 1, y por lo tanto: m.c.d.(182,165)=1.

Entonces 182 y 165 son primos relativos, coprimos o primos entre sí.

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